Расчет простого нахлёсточного соединения пластин в MSC Patran-Nastran [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 2

относятся основные
работы по расчету клеевых соединений пластин внахлестку. Многочисленные испытания
показали, что напряжения в клеевом слое распределены неравномерно и что разрушение начинается у края нахлестки [9].
Используя балочное приближение получим основополагающие аналитические зависимости для определения нормальных и касательных напряжений в клеевом слое для жестких
и гибких соединений внахлестку.
Предположим, что склеенные пластины
изгибаются по цилиндрической поверхности
с образующими параллельными оси y. Геометрия простого нахлесточного соединения и положительные направления внутренних силовых
факторов и напряжений в клеевом слое приведены на рисунке 1.

Рис. 1

21

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69

В соответствии с гипотезами, принимаемыми для пластин средней толщины, уравнения закона Гука запишутся так:
ε=
x

Выражения для определения величин напряжений, вызванных растяжением пластин
и их поперечным изгибом,
N
M
σx = x ; σx = x z ,
Fx
Jy

1
1
⋅ ( σ x − µσ y ) ; ε =
⋅ ( σ y − µσ x ) . (1)
y
E
E

Здесь ε x , ε y – относительные деформации
в направлении координатных осей x и y;
σ x , σ y – нормальные напряжения;
Е – модуль упругости материала;
μ – коэффициент Пуассона.
Выделим из клеевого соединения двумя
вертикальными плоскостями, параллельными
плоскости xoz, полоску шириной в единицу
длины, например, равной 1 см. Полоска будет
находиться в условиях плоской деформации,
так как вследствие связи с соседними полосками она не сможет деформироваться в направлении оси y. Таким образом, удлинение волокон
в направлении оси y будет равно нулю:
ε y= 0=

ничем не отличаются от напряжений в балке
таких же размеров, так как модуль упругости
сюда не входит; Fx – площадь поперечного сечения полоски единичной ширины; Mx – изгибающий момент в сечении балки-полоски единичной ширины; Jy – момент инерции поперечного
сечения балки относительно оси y.
Поэтому безразлично, какой теорией пользоваться при выводе соотношений для напряжений в клеевом слое: балочной или теорией пластин, только не надо забывать о существовании
соотношения (2).
При растяжении клеевого соединения внахлестку оно изгибается (рис. 2). Длительное время изгиб в расчет не принимался.
Впервые в упрощенной постановке задача
об определении распределения касательных напряжений в клеевом слое для жестких соединений внахлестку была решена Фолькерсеном
в 1938 году [10]. Он предполагал, что
• склеиваемые элементы работают лишь
на растяжение,
• в клеевом слое создаются только касательные напряжения τ xz , не превышающие предела упругости,
• деформация сдвига в клеевом слое γ xz
постоянна по толщине клеевого слоя t и определяется только взаимными перемещениями
точек, лежащих в одном сечении клеевого слоя
и относящихся к противоположным границам
клей – конструкция (рис. 1):

1
( σ y − µσ x ) ,
E

откуда
σ y = µσ x ,
что повлечет за собой
1
1
1 − µ2
2
ε=
( σ x − µσ y=) E σ x − µ σ x= E σ x .
x
E

(

)

Зависимость между напряжениями σ x
и деформациями ε x имеет тот же вид, что и для
простой балки в элементарной теории сопротивления материалов, но только обычный модуль
упругости должен быть заменен величиной
E1 =

E
.
1 − µ2

(3)

u − uB
,
γ xz =H
t

(2)

Рис. 2

22

(4)

где uH, uB – перемещения граничных точек для
нижнего и верхнего листов соответственно в направлении оси x (рис. 1).
Выведем формулу Фолькерсена, предполагая, что листы в клеевом соединении испытывают только растяжение.
Вырежем малый элемент клеевого соединения в зоне склейки (рис. 3), из условия равновесия которого: ΣX =,
0 следует
dN B
dN H
+ τ xz = 0 ;
− τ xz = 0 .
dx
dx

d 2 τ xz
Gk  dN H EH FH dN B 
=
−

=
2
EH FH t  dx
EB FB dx 
dx
Gk  EH FH 
=
1 +
 τ.
EH FH t 
EB FB 
Вводя обозначение
Gk  EH FH 
(7)
1 +
,
EH FH t 
EB FB 
получим дифференциальное уравнение для касательного напряжения τ xz :
=
α2

(5)

В соответствии с законом Гука для касательных напряжений
τ xz = Gk γ xz = Gk

d 2 τ xz
− α 2 τ xz = 0 ,
2
dx

uН − uВ
.
t

(8)

решение которого
τ=
Ach ( αx ) + Bsh ( αx ) ,
xz

Откуда
d τ xz
Gk  duH duB 
=
=
−

=
dx
t  dx
dx 
Gk
Gk  N H
N 
=
− B  , (6)
( εH − ε=

B)
t
t  EH FH EB FB 

(9)

где A, B – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий задачи (см. уравнение (6)):
при x = −c

где ε H , ε B – относительные деформации в сечении x;
N H , N B нормальные силы;
EH FH , EB FB – жесткости поперечных сечений для нижнего и верхнего листов соответственно в направлении оси x.
Вычислим вторую производную от выражения (6) и учтем уравнения равновесия (5)

при x = c


NB 
0 −
=
EB FB 
x= −c

=− Aαsh ( αc ) + Bαch ( αc ) ;

d τ xz
dx

G
= k
t


d τ xz
Gk  N H
=
=
− 0

dx x =c
t  EH FH

= Aαsh ( αc ) + Bαch ( αc ) ,

откуда

=
A

 1
Gk P
1
1  P αc
,
+
 =

2t αsh ( αc )