Определение перемещений в упругих системах в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 3

этой формуле подынтегральное произведение M K MP для элемента ds положительно, если оба момента изгибают этот элемент в одну сторону, то есть если
эпюры M K и MP расположены по одну сторону от оси (напомним, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатых волокнах). Произведения Q K QP и N K N P положительны, если усилия имеют одинаковый знак. Произведение M K ∆t положительно, если момент M K и тепловое воздействие ∆t искривляют элемент в одном направлении (эпюра моментов M K расположена со стороны более нагретых волокон). Произведение N K t положительно, если нормальная сила и температура нейтрального волокна t одного знака; произведение R K c положительно, если реакция R K от единичного силового фактора направлена в сторону заданного смещения связи c .
Для вычисления перемещений по формуле Максвелла-Мора вначале нужно построить грузовые эпюры внутренних усилий MP , QP , N P , затем в точке, перемещение которой ищется, приложить единичный силовой фактор по направлению искомого
перемещения и от его действия вычислить реакции R K в связях, перемещение c которых задано, и построить единичные эпюры M K , Q K , N K . Наконец, вычислить соответствующие интегралы и суммы произведений. Если перемещение, вычисленное по
формуле (1) положительно, то точка перемещается в сторону действия приложенного
единичного силового фактора, если перемещение отрицательно, то точка перемещается
в обратную сторону.
В качестве единичных силовых факторов прикладываются при вычислении:
• линейного перемещения точки сосредоточенная единичная сила P = 1 в
направлении искомого перемещения;
• угла поворота сосредоточенный единичный момент m = 1 ;
• взаимного линейного перемещения двух точек (изменения расстояния между ними) две сосредоточенные самоуравновешенные единичные силы
P = 1 по прямой, соединяющей данные точки;
• взаимного угла поворота двух сечений два сосредоточенных самоуравновешенных единичных момента m = 1 в обоих сечениях.
При вычислении перемещений в пространственных стержневых системах в
формулу (1) нужно добавить члены, содержащие изгибающие моменты и поперечные
силы, которые действуют во второй плоскости изгиба, а также крутящие моменты.
Если перемещения вычисляются только от силового внешнего воздействия, то
формула Максвелла-Мора принимает вид
11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∆ KP = ∑ ∫
+ ∑∫

M y 1M yP
M x 1M xP
M M
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ z1 zP ds +
EI x
EJ y
EJ z

(2)

Qy 1QyP
N z1N zP
Q Q
ds + ∑ ∫ β x x 1 xP ds + ∑ ∫ β y
ds ,
EF
GF
GF

где M xP , Q xP , N xP и т. д. - аналитические выражения внутренних силовых факторов
от заданной нагрузки; M x 1 , Q x 1 , N x 1 и т. д. - аналитические выражения внутренних
силовых факторов от единичной силы (момента).
В большинстве случаев можно ограничиваться первыми тремя членами формулы
(2), пренебрегая влиянием продольной и поперечных сил.
Как правило, перемещения от различных воздействий определяются раздельно.
Поэтому рассмотрим далее отдельные виды внешних воздействий.
2.1.1. Перемещения от внешнего силового воздействия

В формуле (1) следует оставить только первые три слагаемые:

∆ KP = ∑ ∫

M K MP
N K NP
Q Q
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ β K P ds .
EI
EF
GF

(3)

Для вычисления перемещений по формуле (3) необходимо:
A. Определить аналитические выражения внутренних усилий MP , QP , N P от действия заданной внешней нагрузки и построить при необходимости их эпюры.
B. Определить аналитические выражения внутренних усилий M K , Q K , N K от единичного силового фактора и при необходимости построить их эпюры.
C. Вычислить интегралы в формуле (3) одним из приведённых ниже способов.
Таким образом, при определении перемещений рассматриваются два напряжённо-деформированных состояния:

действительное от заданной нагрузки;

вспомогательное от единичного силового фактора.
В большинстве случаев для определения перемещений от силового воздействия
вместо формулы (3) используются упрощённые формулы, которые получаются из (3)
путём отбрасывания членов, незначительно влияющих на конечный результат. Эти
формулы имеют следующий вид:
– для балок и рам
M M
∆ KP = ∑ ∫ K P ds ;
(4)
EI
– для идеальных шарнирных ферм
N N
∆ KP = ∑ Ki Pi Li ;
(5)
(EF )i
– для комбинированных систем
Li

∆ KP = ∑ ∫

i 0

M Ki MPi
N Ki NPi
ds + ∑
Li .
(EI )i
(
EF
)
i
i

Комбинированной системой называют такую, в которой имеются элементы, работающие преимущественно на изгиб (балка), и элементы, работающие преимущественно на растяжение-сжатие (стержни, соединённые шарнирами) (рис.2).
12

(6)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.2
2.1.2. Перемещения от изменения температуры

Перемещения в упругих плоских статически определимых стержневых системах
определяются по формуле
∆t
∆ Kt = ∑ ∫ αto N K ds + ∑ ∫ α M K
ds ,
(7)
d
где t o – температура на оси стержня; ∆t = t 1 − t 2 – изменение температуры по толщине стержня.
Первый член формулы соответствует перемещению