Такая нужная геометрия [Александр Викторович Фарков] (pdf) читать постранично, страница - 23

провел брат.
9-1-15. Решение. Так как ZMBC = ZMKC =
= 60°, то через точки М, К, В, С можно
провести окружность. Тогда ZKBC =
= ZKM C = 60° (как вписанные, опираю­
щиеся на одну и ту же дугу КС). Поэтому ZBAC + ZABK = 60° + (60° + 60°) = 180°,
а значит, прямые В К и АС будут парал­
лельны.

м

9-1-16. Решение. По условию точку можно выбрать в любом
месте треугольника АВС, в частности в его вершинах, от­
куда следует, что высоты треугольника равны между собой.
Пусть AD и СЕ — высоты, опущенные из вершин А и С
соответственно, тогда прямоугольные
треугольники ADC и АСЕ равны по ги­
потенузе и катету, поэтому величины
углов ВАС и ВС А равны.
Аналогично докажем равенство прямо­
угольных треугольников АВК и ABD,
откуда следует, что равны и величи­
ны углов АВС и ВАС. Таким образом,
в треугольнике все углы равны, а зна­
чит, треугольник АВС будет равносто­
ронним, то есть правильным.

75

9-1-17. Решение. Так как оставшийся кусок имеет форму пра­
вильного восьмиугольника, а количество отрезанных ку­
сков — пять, то они могут иметь не больше одной стороны,
общей со стороной восьмиугольника. Значит, минимум три
стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Поэтому
формой искомой стенгазеты будет квадрат со стороной, рав­
ной расстоянию между противоположными сторонами вось­
миугольника.
Вырезанными могли быть следующие многоугольники: пять
треугольников или четыре треугольника и один четырех­
угольник, причем два треугольника (или один треугольник
и четырехугольник) будут в сумме составлять один из остав­
шихся трех треугольников.
9-1-18. Решение. Проводим параллельно двум сторонам шести­
угольника прямые, точку их пересечения соединяем с одной
из вершин шестиугольника (см. рисунок). Получили три па­
раллелограмма, каждый из которых делим на четыре равные
части. В результате получаем требуемое разбиение.
9-1-19. Решение. На рисунке показано, как можно разбить пра­
вильный восьмиугольник на 12 многоугольников (шесть из
закрашенной области и шесть из незакрашенной части).
Многоугольники с одинаковой площадью обозначены одни­
ми и теми же числами. Поэтому площади закрашенной и не­
закрашенной частей многоугольника равны.
9-1-20. 10 см2. Решение. Обозначим радиусы полуокружностей,
построенных на катетах АС и СВ, соответственно через Ъи а,
а радиус круга, построенного на гипотенузе, — через с. Ис­
комую площадь (на рисунке она закрашена) находим сле­
дующим образом:

К задаче 9-1-18
76

К задаче 9-1-19

К задаче 9-1-20

ТЕМА 2. Элементы стереометрии
9-2-1. Выгоднее чистить крупный. Решение. Так как суммарная
площадь поверхности у 1 кг крупного картофеля меньше, чем
у такого же количества мелкого, то крупный картофель
чистить и выгоднее, и экономнее (меньше отходов). Может,
поэтому крупный картофель в магазинах и стоит часто
дороже.
9-2-2. ^ = 5 ( /^ + h2). Решение. Так как дно бутылки имеет фор­
му круга или прямоугольника, то его площадь легко найти,
измерив диаметр или стороны прямоугольника и воспользо­
вавшись формулой S = kR 2 (зная диаметр, легко найти ради­
ус круга) или S = аЬ. Пусть пло­
щадь дна бутылки равна S.
Измерим высоту /;. жидкости
в бутылке. Тогда ее объем будет
равен V1 = S \ . Опрокинем бутыл­
ку вверх дном и измерим высоту
h2 от уровня жидкости до дна бу­
тылки. Объем этой части бутыл­
ки будет равен V2 = Sh2. Осталь­
ную часть бутылки занимает
жидкость, объем которой уже был определен: V1 = SA,. Та­
ким образом, объем бутылки будет равен:
V = Vl +V2 =Sh1+Sh2 = S ( \ + h 2).
Например, диаметр дна бутылки d = 6,6 см, /¾ = 14 см;
h2 = 8 см.
Тогда V = S ( \ + h2) = kR 2( \ +h2)~ 3,14-3,32 • 22 = 753 (см3) =
= 753 (мл) = 0,753 (л).
9-2-3. Решение. Чтобы узнать толщину слоя краски, необхо­
димо объем использованной краски разделить на площадь
окрашенной поверхности.
9-2-4. Треугольные гвозди. Решение. Папа купил треугольные
гвозди, так как они держатся в древесине крепче всего. Объяс­
няется это тем, что треугольный гвоздь соприкасается с окру­
жающей его древесиной по наибольшей поверхности: при
равных площадях сечения периметр будет наибольшим у тре­
угольника и наименьшим у круга. Поэтому круглый гвоздь
держится слабее любых других гвоздей. Жаль только, что гвоз­
ди с треугольным сечением в магазинах встречаются редко.
77

9-2-5. Решение. Выгоднее покупать крупные мандарины, так
как при увеличении радиуса мандарина площадь его поверх­
ности (пропорциональная квадрату радиуса) увеличивается
не так значительно, как объем мандарина (пропорциональ­
ный кубу радиуса).
9-2-6. Большой арбуз. Решение. Выгоднее купить первый арбуз,
--- = 2 раза больше объема второтак как его объем в
64
го арбуза.
9-2-8. Во вторую кружку жидкости поместится больше
в 1— раза. Решение. Так как объем пропорционален квадра­
ту радиуса основания и высоте кружки, то объем более ши­
рокой кружки больше объема более высокой.
9-2-9. Не может. Решение. Предположим, что такое возможно.
А) Пусть ребра длиной 1 см и 11 см