Вычислительная математика для физиков [Игорь Борисович Петров] (pdf) читать постранично, страница - 3

35

Предисловие
Предмет вычислительной математики имеет большую историю. Упоминание о вычислительных методах можно найти
у средневековых китайских математиков (например, схема Горнера для вычисления значений полиномов, предложенная Горнером
в XIX в., была известна в Китае в XV в.).
Дальнейшее развитие вычислительная математика получила в XVII в., благодаря работам Ньютона, Эйлера, Лейбница,
Лагранжа (интерполяционные полиномы, разделенные разности,
первые методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисления интегралов).
Методы вычислений разрабатывались Гауссом, Эрмитом, Чебышëвым (теория приближения функций в функциональных
пространствах, методы интерполяции, решения систем линейных уравнений, высокоточные методы вычисления интегралов).
В конце XIX – начале XX вв. бурное развитие получили высокоточные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанные в трудах Галëркина, Бубнова,
Ритца, Рунге, Кутты, Крылова, Розенброка, Адамса, Бутчера
и других математиков.
Примерно в середине XX в. начали развиваться численные
методы решения дифференциальных уравнений в частных производных в работах Куранта, Фридрихса, Лакса, Вендроффа,
Харлоу. Большой вклад в развитие этих методов внесли советские (российские) ученые: О. М. Белоцерковский, С. К. Годунов,
А. А. Самарский, В. С. Рябенький, Р. П. Федоренко, Н. Н. Яненко, А. С. Холодов, Г. И. Марчук, Н. С. Бахвалов, Б. Н. Четверушкин, А. И. Толстых, В. В. Русанов.
Актуальность этих работ была обусловлена двумя главными причинами: появлением первых электронно-вычислительных
машин, а также ядерного оружия, поскольку было необходимо предсказывать последствия ядерного взрыва и разрабатывать
средства его доставки.
Разумеется, в дальнейшем эти численные методы нашли
свое применение в решении других (промышленных, медицинских, экологических) задач, например: климатических, геофизических (разведка полезных ископаемых), термодинамики морей

7 / 35

8

Предисловие

и океанов, арктических, аэрокосмических, химической физики,
распространения электромагнитных волн и др.
Огромный вклад в решение сложнейших вычислительных
задач внесло развитие высокопроизводительных многопроцессорных систем, для которых необходимо было адаптировать (распараллеливать) известные методы и алгоритмы. Быстрый рост
их производительности приводит к возможности решения все
более и более сложных задач. В настоящее время уже идет речь
о создании экзафлопсного компьютера.
Автор искренне благодарит своих учителей — выдающихся
ученых: академиков РАН О. М. Белоцерковского, А. С. Холодова,
Б. Н. Четверушкина, докторов физико-математических наук
В. С. Рябенького и Р. П. Федоренко за те бесценные знания,
которые он получил от них.
Автор выражает благодарность В. С. Ароловичу, В. Д. Иванову, Д. В. Кибардиной и А. В. Фаворской за содействие в написании данной книги.

8 / 35

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Из истории вычислительной математики
Вычислительная математика, как прикладная математическая
дисциплина, имеет достаточно долгую историю. По-видимому,
простейшие вычислительные алгоритмы были известны еще в античные времена. Трудно представить без предварительных расчетных оценок умение измерять площади, диагонали земледельческих участков, строить пирамиды в Древнем Египте, огромные
сооружения в Элладе, Китае, Индии, Древнем Риме и мн. др.
К сожалению, до наших дней дошло немного, однако античная
математика, механика, связанные с ними вычисления, создали некоторые предпосылки для развития вычислительных наук
в значительно более поздние времена. Нам известны знаменитые
ученые древности: Пифагор, Архимед и др., но, по-видимому,
многие имена остались в забвении.
Настоящий подъем вычислительной математики происходил
примерно начиная с XVII в. Развитие небесной механики, геодезии в связи с потребностями навигации и мореплавания, составлением тригонометрических функций, появление артиллерии
диктовали необходимость разработок расчетных методов даже
при отсутствии вычислительной техники. В эти времена появляется важнейший математический аппарат для решения многих
прикладных задач — интегральное и дифференциальное исчисление, разработанное И. Ньютоном и Г. Лейбницем; появились
первые дифференциальные уравнения: сначала обыкновенные,
а затем и в частных производных. Для решения многих задач, сводящихся к решению дифференциальных уравнений, взятию интегралов, приближения функций и др. было необходимо разрабатывать как приближенные, так и численные методы.
Так появились первые интерполяционные полиномы Лагранжа
и Ньютона, первый численный метод Эйлера решения задачи
Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, формулы Ньютона–Котеса для вычисления определенных интегралов. Позже Гаусс предложил высокоточные методы