Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера [Николай Иванович Конон] (fb2) читать постранично
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя (9) »
Николай Конон Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера
Введение Известны многочисленные свойства ряда натуральных чисел. Одно из них состоит в том, что для любого числа на числовой оси найдется пара чисел, отстоящих слева и справа на одинаковое числовое расстояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N+0 = N+U {0} [1]. Исследуем числовую ось натурального ряда N+0 (рис. 1)
N+0 = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k} Рис. 1
Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство: n – a = b – n. (1.1) Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n. Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N+0 показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно: 1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние δ. 2) Числовое расстояние δ, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:
δ = n – a = b – n. (1.2)
3) Из выражения (1.2) получаем:
a = n – δ; b = n + δ. (1.3)
4) При этом из выражения (1.2) также имеем:
n = a + δ = b – δ. (1.4)
5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна
a + b = 2n. (1.5)
6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна
b – a = 2δ. (1.6)
Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары. 7) Из выражения (1.6) вытекает
δ =(b – a)/2. (1.7)
8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n. Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние δ. Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.
Таблица 1
Число n Симметричная пара чисел {(a, b)} числа n Числовое расстояние δ
1 {(0,2)} 1
2 {(1,3),(0,4)} 1,2
3 {(2,4),(1,5),(0,6)} 1,2,3
4 {(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)} 1,2,3,4
. ………………. ………
n {(n–1, n+1), (n–2, n+2),…… (1, n+n-1), (0, n+n)} 1,2,3,.…n–1,n
где a и b – симметричные пары для числа n. Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n. Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется δ = (1,2,3,……… n). (1.8) Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии. Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму. Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа. Доказательство. Из свойств натуральных чисел N+0 известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде ni+1 = ni + 1, (1.9) Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать ni+δ = ni + δ, (1.10) где δ число равное 1, 2, 3.…. Тогда можно записать, что и ni-δ = ni – δ. (1.11) Отсюда имеем ni = ni-δ + δ. (1.12) Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем ni – ni-δ = ni+δ – ni = δ. (1.13) Далее если принять ni+δ = b, ni-δ = a, ni = n, то в новых обозначениях можно записать n – a = b – n = δ. (1.14) Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е. a = n
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя (9) »
Последние комментарии
10 часов 22 минут назад
16 часов 44 минут назад
16 часов 52 минут назад
17 часов 21 минут назад
17 часов 24 минут назад
17 часов 25 минут назад